スマホ購入時など、設定画面を開いて初期設定などをしているうちに、なんとなく間違った、不要な設定をしてしまうことがあるようです。

・インターネットに接続できない
・アプリがの通信ができない。

　注：Android Ver.4以降に限った設定です。

設定から「電源管理」をタップ
「省電力モード」をタップ
『省電力モード』がオンになっているので、一番上の「省電力モード」図の赤枠部分をタップしオフにします。 　補足ですが、右上の設定マークをタップして「設定」を開きます。
設定画面の「通知」にチェックが入っていなければ、ステータスバーに省電力モードになっていることが表示されず、『何が原因でネットワークに接続できない』か分からない状態になってしまうのを防ぐために、この項目の確認も必要です。
いずれにしても、省電力機能を利用していなければ『OFF』の表示であることを確認して、設定完了です。